1143. 最长公共子序列

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。 例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

示例 1:

输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace”，它的长度为 3。 示例 2:

输入：text1 = “abc”, text2 = “abc” 输出：3 解释：最长公共子序列是 “abc”，它的长度为 3。 示例 3:

输入：text1 = “abc”, text2 = “def” 输出：0 解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0。

提示:

1 <= text1.length <= 1000 1 <= text2.length <= 1000 输入的字符串只含有小写英文字符。

来源：力扣（LeetCode） 链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence 著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

题解：

很明显使用动态规划解题

  1. 定义状态 dp[i] [j]为字符串1 截止到下标i 的子串，和字符串2截止到下标j 的子串 的最长公共子序列。
  2. 定义初始值 初始值默认都为0，不需要重新赋值
  3. 动态转移方程
    • 当c1 和 c2相等时，dp为其左上的值 + 1
    • 当c1 和 c2不想等时，dp为其左边 和 上边值中的大者

下图为例子，便于理解：(a b c d 和 a c e f的最长公共子序列)

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代码如下：

public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {

        // 定义状态  dp[i][j]为 字符串1 以i结尾的字串，和字符串2以j结尾的字串的最长公共子序列。
        int [][]dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];

        // 定义初始值 数组中默认都为0，不需要重新赋值
        
        // 动态转移方程
        // 当 c1 和 c2相等时，dp为其左上的值加1
        // 当 c1 和 c2不想等时，dp为其左边 和 上边的最大值
        for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
            char c1 = text1.charAt(i - 1);

            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                char c2 = text2.charAt(j - 1);

                if (c1 == c2){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] +1;
                }else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }

        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }

复杂度分析：

时间复杂度为 O(N * M) 两层循环，N * M次运算

空间复杂度为 O(N * M) 利用了额外的二维数组存储空间。

优化：

上边的解题过程中，我们在计算dp[i] [j] 时只用到了上边一层dp[i - 1] […]，及其leftTop的值，而leftTop就是上次dp[j]的值。 是否可以把二维数组优化成一位数组，降低其空间复杂度至O(N)级别 ？ 下边我们尝试做一下空间复杂度的优化。

public static int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {

        // 定义状态  dp[j]为 字符串1 以i结尾的字串，和字符串2以j结尾的字串的最长公共子序列。
        int []dp = new int[text2.length() + 1];

        // 定义初始值 数组中默认都为1，不需要重新赋值

        // 动态转移方程
        // 当 c1 和 c2相等时，dp为其左上的值加1
        // 当 c1 和 c2不想等时，dp为其左边 和 上边的最大值
        for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
            char c1 = text1.charAt(i - 1);
            int cur = 0;

            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
                char c2 = text2.charAt(j - 1);

              	// leftTop就是上次dp[i] 的值
                int leftTop = cur;
                cur = dp[j];

                if (c1 == c2){
                    dp[j] = leftTop +1;
                }else {
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-1]);
                }
            }
        }

        return dp[text2.length()];
    }

优化过后的复杂度：

空间复杂度： O(N) 额外使用了一维数组的存储空间。

时间复杂度：O(N * M) 两层循环 N * M次计算。